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限制 (數學)

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数学中,映射限制 是一个新的映射,记作 或者 ,它是通过为原来的映射 选择一个更小的定义域 来得到的。反过来,也称映射 是映射 扩张

正式定义

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是一个集合 到集合 的映射。如果 子集,那么称满足的映射[1] 是映射 上的限制。不正式地说, 是和 相同的映射,但只定义在 上。

如果将映射 看作一种在笛卡尔积 上的关系 ,然后 上的限制可以用它的图像来表示:

其中 表示图像 中的有序对

扩张

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映射 称为另一映射的 扩张,当且仅当 。也就是说同时满足下面两个条件:

  1. 属于 之定义域的 必然也在 的定义域中,即
  2. 在它们共同的定义域上的行为相同,即

具有特定性质的扩张

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数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大,并要求扩张后的结果仍具有该性质,但扩张后。如寻找一个线性映射 的扩张映射 ,且 仍是线性的,这时说 的一个线性扩张,或者说;寻找一个连续映射 的扩张映射 ,且 仍连续,则称为进行了连续扩张;诸如此类。

具有特定性质的扩张可能是唯一的,这时则不必给出扩张映射 的详细定义,如稠密子集豪斯多夫空间的映射的连续扩张

例子

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  1. 非单射函数 在域 上的限制是 ,而这是一个单射。
  2. Γ函数限制在正整数集上,并将变量平移 ,就得到阶乘函数:

限制的性质

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  • 映射 在其整个定义域 上的限制即是原函数,即
  • 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同,只要最终的定义域一样。也就是说,若 ,则
  • 集合 上的恒等映射在集合 上的限制即是 包含映射[2]
  • 连续函数的限制是连续的。[3] [4]

應用

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反函數

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定义域为 的函数 没有反函数。若考虑 到非负实数的限制,则它有一个反函数,称为平方根

若某函數存在反函數,其映射必為單射。若映射 非單射,可以限制其定義域以定義其一部分的反函數。如:

  

因為 ,故非單射。但若將定義域限制到 時該映射為單射,此時有反函數

  

(若限制定義域至 ,輸出 的負平方根的函數為反函數。)另外,若允許反函數為多值函数,則無需限制原函數的定義域。

粘接引理

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點集拓撲學中的粘接引理聯繫了函數的連續性與限制函數的連續性。

設拓撲空間 的子集 同時為開或閉,且滿足 ,設 為拓撲空間。若映射 的限制都連續,則 也是連續的。

基於此結論,粘接在拓撲空間中的開或閉集合上定義的兩個連續函數,可以得到一個新的連續函數。

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將函數的限制推廣到其他物件的限制。

層論中,拓撲空間的每個開集,有另一個範疇中的物件與之對應,其中要求滿足某些性質。最重要的性質是,若一個開集包含另一個開集,則對應的兩個物件之間有限制態射,即若,則有態射,且該些態射應仿照函數的限制,滿足下列條件:

  1. 的每個開集,限制態射上的恆等態射。
  2. 若有三個開集,則複合
  3. (局部性)若為某個開集開覆蓋,且滿足:對所有,則
  4. (黏合) 若為某個開集的開覆蓋,且對每個,給定截面,使得對任意兩個,都有在定義域重疊部分重合(即),則存在截面使得對所有

所謂拓撲空間上的,就是該些物件和態射組成的整體。若僅滿足前兩項條件,則稱為預層

引注

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  1. ^ Stoll, Robert. Sets, Logic and Axiomatic Theories 2nd. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1974: [36]. ISBN 0-7167-0457-9. 
  2. ^ Halmos, Paul. Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. 1960.  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
  3. ^ Munkres, James R. Topology 2nd. Upper Saddle River: Prentice Hall. 2000. ISBN 0-13-181629-2. 
  4. ^ Adams, Colin Conrad; Franzosa, Robert David. Introduction to Topology: Pure and Applied. Pearson Prentice Hall. 2008. ISBN 978-0-13-184869-6.